Chapitre 011ère Année Baccalauréat Sciences Expérimentales

Notions de logique

Propositions, fonctions propositionnelles, connecteurs logiques, lois de De Morgan, quantificateurs (∀, ∃) et les 6 grands types de raisonnement mathématique (déductif, équivalence, disjonction des cas, contraposition, absurde et récurrence).

Partie A

Propositions & Fonctions propositionnelles

∀x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x)

1. Proposition mathématique

Définition

On appelle **proposition** (ou assertion) un énoncé mathématique qui a un sens pouvant être soit **vrai** (noté

V

1

), soit **faux** (noté

F

0

), mais jamais les deux en même temps.

(P) : -2 \in \mathbb{N} \quad \text{(Proposition fausse : } F\text{)}

(Q) : \text{« Pour tout } x \in \mathbb{R},\; x^2 \ge 0 \text{ »} \quad \text{(Proposition vraie : } V\text{)}

2. Fonction propositionnelle

Définition

Une **fonction propositionnelle** (ou prédicat) sur un ensemble

E

est une expression mathématique contenant une ou plusieurs variables appartenant à

E

. Lorsqu'on remplace chaque variable par un élément précis de

E

, l'expression devient une proposition qui est soit vraie, soit fausse.

T(x) : \; x \in \mathbb{R} \;;\; x^2 - 1 = 0

T(1) \text{ et } T(-1) \text{ sont vraies} \quad \big| \quad T(2) \text{ est fausse}

Partie B

Opérations sur les propositions & Tables de vérité

∀x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x)

1. Négation d'une proposition

Définition

La **négation** d'une proposition

P

, notée

\overline{P}

\neg P

(lire « non

P

»), est la proposition qui est **vraie** lorsque

P

est fausse, et **fausse** lorsque

P

est vraie.

Proposition $P$	Négation $\overline{P}$
$V$ (1)	$F$ (0)
$F$ (0)	$V$ (1)
$\pi \in \mathbb{N}$	$\pi \notin \mathbb{N}$
$\sqrt{2} > 1$	$\sqrt{2} \le 1$

2. Conjonction (et) & Disjonction (ou)

Définition

Soient

P

Q

deux propositions : • La **conjonction** notée

(P \text{ et } Q)

(P \wedge Q)

est **vraie uniquement si

P

Q

sont toutes les deux vraies**. • La **disjonction** notée

(P \text{ ou } Q)

(P \vee Q)

est **fausse uniquement si

P

Q

sont toutes les deux fausses**.

$P$	$Q$	$P \text{ et } Q \; (P \wedge Q)$	$P \text{ ou } Q \; (P \vee Q)$
$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$
$F$	$V$	$F$	$V$
$F$	$F$	$F$	$F$

Lois de De Morgan (Négation de « et » / « ou »)

Propriété fondamentale

La négation d'une conjonction est la disjonction des négations, et la négation d'une disjonction est la conjonction des négations :

\overline{(P \text{ et } Q)} \iff (\overline{P} \text{ ou } \overline{Q})

\overline{(P \text{ ou } Q)} \iff (\overline{P} \text{ et } \overline{Q})

3. Implication ( $P \Rightarrow Q$ ) & Équivalence ( $P \iff Q$ )

Définition

• **L'implication**

(P \Rightarrow Q)

est par définition la proposition

(\overline{P} \text{ ou } Q)

. Elle n'est **fausse que dans un seul cas : lorsque

P

est vraie et

Q

est fausse**. • **L'équivalence**

(P \iff Q)

est la proposition

(P \Rightarrow Q \text{ et } Q \Rightarrow P)

. Elle est vraie si et seulement si

P

Q

ont la **même valeur de vérité**.

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$	$P \iff Q$
$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$	$V$

Réciproque, Contraposée et Négation de $P \Rightarrow Q$

Remarque importante

À partir d'une implication

(P \Rightarrow Q)

, on distingue trois propositions essentielles :

\text{Implication réciproque : } \quad Q \Rightarrow P

\text{Implication contraposée : } \quad \overline{Q} \Rightarrow \overline{P} \quad (\text{équivalente à } P \Rightarrow Q)

\text{Négation de l'implication : } \quad \overline{(P \Rightarrow Q)} \iff (P \text{ et } \overline{Q})

Partie C

Quantificateurs Universel (∀) et Existentiel (∃)

∀x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x)

1. Quantificateur universel ( $\forall$ ) et existentiel ( $\exists$ , $\exists!$ )

Définition

Soit

P(x)

une fonction propositionnelle définie sur un ensemble

E

: • **Quantificateur universel (

\forall

)** : «

(\forall x \in E),\; P(x)

» se lit *« pour tout

x \in E

P(x)

est vraie »*. • **Quantificateur existentiel (

\exists

)** : «

(\exists x \in E),\; P(x)

» se lit *« il existe au moins un

x \in E

tel que

P(x)

soit vraie »*. • **Existence et unicité (

\exists!

)** : «

(\exists! x \in E),\; P(x)

» signifie qu'il existe **un seul et unique** élément

x \in E

vérifiant

P(x)

2. Règles de négation des propositions quantifiées

Propriété fondamentale

Lorsqu'on prend la négation d'une proposition quantifiée, le quantificateur

\forall

se transforme en

\exists

, le quantificateur

\exists

se transforme en

\forall

, et on nie la propriété

P(x)

\overline{(\forall x \in E)\;;\; P(x)} \iff (\exists x \in E)\;;\; \overline{P(x)}

\overline{(\exists x \in E)\;;\; P(x)} \iff (\forall x \in E)\;;\; \overline{P(x)}

Partie D

Les 6 Grands Types de Raisonnement Mathématique

∀x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x)

1. Raisonnement par contre-exemple

Principe de raisonnement

Pour démontrer qu'une proposition universelle

(\forall x \in E),\; P(x)

est **fausse**, il suffit de prouver que sa négation

(\exists x \in E),\; \overline{P(x)}

est **vraie**, c'est-à-dire de trouver une valeur précise

x_0 \in E

qui met la propriété en défaut.

\text{Exemple : } (\forall x \in \mathbb{R}),\; \sqrt{x^2} = x \text{ est fausse car pour } x = -1,\; \sqrt{(-1)^2} = 1 \neq -1.

2. Raisonnement déductif (Direct) & par Équivalences

Principe de raisonnement

• **Raisonnement déductif** : Pour prouver que

(P \Rightarrow Q)

est vraie, on suppose que

P

est vraie et, par une suite d'implications logiques, on montre que

Q

est vraie. • **Raisonnement par équivalences** : Pour établir

(P \iff Q)

, on procède par une chaîne d'équivalences successives

P \iff P_1 \iff \dots \iff Q

en veillant à ce que chaque étape soit réversible.

3. Raisonnement par disjonction des cas

Principe de raisonnement

Pour démontrer qu'une propriété

P(x)

est vraie pour tout

x \in E

, on partage l'ensemble

E

en deux ou plusieurs sous-ensembles complémentaires (par exemple :

n

pair et

n

impair, ou

x \ge 1

x < 1

pour éliminer une valeur absolue

|x-1|

), puis on vérifie que

P(x)

est vraie dans chacun des cas.

4. Raisonnement par contraposition

Principe de raisonnement

Puisque l'implication

(P \Rightarrow Q)

a exactement la même valeur de vérité que sa contraposée

(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P})

, lorsque la démonstration directe est complexe, on suppose

\overline{Q}

vraie et on démontre

\overline{P}

(P \Rightarrow Q) \iff (\overline{Q} \Rightarrow \overline{P})

\text{Exemple : Pour montrer } (n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}),\text{ on montre } (n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}).

5. Raisonnement par l'absurde

Principe de raisonnement

Pour démontrer qu'une proposition

P

est vraie, on suppose au contraire que sa négation

\overline{P}

est vraie, et on en déduit par le calcul une contradiction logique (comme

3 = 8

, ou un nombre simultanément pair et impair). On conclut alors que

P

est nécessairement vraie.

6. Raisonnement par récurrence (sur $\mathbb{N}$ )

Principe de raisonnement

Soit

P(n)

une propriété dépendant d'un entier naturel

n \ge n_0

. Le raisonnement par récurrence se rédige en **3 étapes obligatoires** : 1. **Initialisation** : On vérifie que

P(n_0)

est vraie. 2. **Hérédité** : Soit

n \ge n_0

fixé. On suppose que

P(n)

est vraie (*hypothèse de récurrence*) et on démontre que

P(n+1)

est vraie. 3. **Conclusion** : D'après le principe de récurrence,

(\forall n \ge n_0),\; P(n)

est vraie.

Notions de logique

Propositions & Fonctions propositionnelles

1. Proposition mathématique

2. Fonction propositionnelle

Opérations sur les propositions & Tables de vérité

1. Négation d'une proposition

2. Conjonction (et) & Disjonction (ou)

Lois de De Morgan (Négation de « et » / « ou »)

3. Implication ( $P \Rightarrow Q$ ) & Équivalence ( $P \iff Q$ )

Réciproque, Contraposée et Négation de $P \Rightarrow Q$

Quantificateurs Universel (∀) et Existentiel (∃)

1. Quantificateur universel ( $\forall$ ) et existentiel ( $\exists$ , $\exists!$ )

2. Règles de négation des propositions quantifiées

Les 6 Grands Types de Raisonnement Mathématique

1. Raisonnement par contre-exemple

2. Raisonnement déductif (Direct) & par Équivalences

3. Raisonnement par disjonction des cas

4. Raisonnement par contraposition

5. Raisonnement par l'absurde

6. Raisonnement par récurrence (sur $\mathbb{N}$ )

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Propositions & Fonctions propositionnelles

1. Proposition mathématique

2. Fonction propositionnelle

Opérations sur les propositions & Tables de vérité

1. Négation d'une proposition

2. Conjonction (et) & Disjonction (ou)

Lois de De Morgan (Négation de « et » / « ou »)

3. Implication (P⇒QP \Rightarrow QP⇒Q) & Équivalence (P ⟺ QP \iff QP⟺Q)

Réciproque, Contraposée et Négation de P⇒QP \Rightarrow QP⇒Q

Quantificateurs Universel (∀) et Existentiel (∃)

1. Quantificateur universel (∀\forall∀) et existentiel (∃\exists∃, ∃!\exists!∃!)

2. Règles de négation des propositions quantifiées

Les 6 Grands Types de Raisonnement Mathématique

1. Raisonnement par contre-exemple

2. Raisonnement déductif (Direct) & par Équivalences

3. Raisonnement par disjonction des cas

4. Raisonnement par contraposition

5. Raisonnement par l'absurde

6. Raisonnement par récurrence (sur N\mathbb{N}N)

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3. Implication ( $P \Rightarrow Q$ ) & Équivalence ( $P \iff Q$ )

Réciproque, Contraposée et Négation de $P \Rightarrow Q$

1. Quantificateur universel ( $\forall$ ) et existentiel ( $\exists$ , $\exists!$ )

6. Raisonnement par récurrence (sur $\mathbb{N}$ )